【教学目标】

（一）.知识和能力

1.学会圆的标准方程的推导方法。

2.掌握圆的标准方程及其求法。

（二）.过程和方法

(1)通过电脑演示，引导学生探究、分析图形的几何特征，再用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，体现数形结合的数学思想。

(2)学生经历圆的标准方程的推导过程，逐步形成在坐标系下用坐标法解几何问题的能力，掌握自主学习的方法和形成合作学习的习惯。

(3)通过例题练习的思考验算，掌握求圆的方程的方法，提高知识的应用能力。

（三）.情感态度和价值观：

(1)教学中运用观察、类比、联想、猜测、检验等合情推理方法，运算能力和逻辑推理能力以及思维品质得到体验和提升。

(2)培养勇于探索、坚韧不拔的意志品质，通过圆的标准方程的学习感悟数学中的曲线美、方程美，激发创造美的意识。

【教材分析】

1.教学对象分析

圆是学生比较熟悉的曲线。在初中几何课中已经学习过圆的性质，这里只是用解析法研究它的方程与其他图形的位置关系及一些应用。而在前一节直线的学习中，学生已经感知了解析法、几何条件与代数关系转化的基本思想。对此，教师可在课堂上通过各种教学方法，帮助学生经历如下过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。

2.教学内容分析

本节内容首先是回顾初中已有的圆的有关知识的基础上引入确定圆的条件，并提出问题：在平面直角坐标系中，怎样用坐标的方法刻画圆呢？过度到下一个问题：圆的标准方程的推导，这是本课时的核心内容，通过圆的定义，利用两点间距离公式推导出方程，需要让学生充分认识方程的形式特点和参数a、b、r的意义。最后通过例题让学生分析探究，学会求圆的标准方程的方法。另外应注意练习2中通过方程中数量关系的分析，明确形似圆的方程，但不表示圆的问题，体会数与形的密切联系。

以上的方法应尽可能在老师的启发引导下，由学生自己比较、归纳得到。

【重点难点】

重点：圆的标准方程的求法。推导圆的标准方程是一个几何条件代数化的过程，体现了解析几何的根本方法；根据具体几何条件写出圆的方程是本节教材的主要解决的问题；其它几何条件转化为圆的定义的条件再求圆的方程需要对具体几何条件加工分析，联系圆的定义和几何性质，是培养学生自主探究意识，发展思维，提高只是综合应用能力的良好素材。

难点：求圆的方程时几何条件转化的思维过程和代换方法。由圆的定义推导圆的标准方程是几何关系代数化的过程，对解析几何仅学过直线的高一学生来说，还不是很熟悉；其它几何条件化归为圆的定义的条件更需要较强的综合分析与应用能力和联想类比转化的思维意识，要求较高。

【课时建议】  一课时

(五)学法指导：在课前必须先做好初中圆的认识有关知识的复习，并预习本节教材，让学生带着疑问听课，以提高听课效率。知识的形成和问题的解决采取学生自主研究和合作探究的学习方法；注意由已有知识研究形成新知识以及联想、类比的思维方法。

【教学建议】

（一）．“教学策略”建议

1.这是一节介绍新知识的课，而且本节内容还非常有利于展现知识的形成过程，所以本节力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”。

2.在展现知识的形成过程中，尽量避免学生被动接受，而采取探究式，引导学生探索，重视探索过程。

在整个探求过程中，充分利用了“旧知识”及“新知识的形成过程”，并利用它探求新知识。这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培养学生能力的过程。

（二）.“提出问题”建议:可通过以下两种方式提出问题，引入课题

1．  以直线类比：在解析几何中，我们学习了直线，把它放在坐标系内可以求出它的方程，根据方程利用代数方法讨论直线的很多性质。圆是一种非常优美的平面图形，我们能不能求出它的方程呢？我们现在就研究这个问题。

2．  
以实物展示：用投影展示几幅圆的图片，然后提出问题：标志牌的数字应如何确定位置？

 

汽车变速箱中的齿轮上两齿间的距离是多少？若我们能求出圆的方程，就可以解决这些问题，本节课开始我们就研究圆的方程。

(三).“问题探究”建议：

1.确定圆的条件：复习初中圆的定义，圆心、半径两个条件可确定圆，圆心—定位置，半径—定大小。

2.推导圆的标准方程：这是本节课的核心内容，首先引导学生将圆放在坐标系中，设定圆心坐标C（a，b）和半径r，设圆上任意一点为P（x，y），提出问题：点P，C与r有什么关系？能用坐标表示吗？学生探究，得出关系式。然后化简形成圆的方程。在推导过程中渗透轨迹思想，掌握标准方程形式。另外给出圆心在原点的圆的标准方程。

(四).“知识应用”建议：求圆的方程是本节主要解决的问题，教材安排例1可让学生直接口答；例2给出了直径的两个端点，需要学生联系中点坐标公式、两点间距离公式求出圆心坐标和半径，再写出圆的方程；此外可增加图形几何条件转化，化归为圆再求方程的例子，如：已知直角三角形ABC中斜边AB的端点A的坐标（－2，1），B的坐标为(4，3)，直角顶点C的在什么曲线上？你能求出它的方程吗？以培养学生新旧知识联系、条件转化化归的意识。

【评价建议】：

(一).学业评价：

1.     写出下列各圆的方程：

（1）圆心在原点，半径为5；   答案： 。

（2）经过点P(5,1)，圆心在点C(6，2）;   答案： 。

（3）以A(2,5)，B(0,-1)为直径的圆。   答案： 。

2.     下列方程分别表示什么图形？

（1） ；    答案：一个点（0，0）。

（2） ；答案：圆心在（1，-2），半径为 的圆。

（3） ；答案：圆心在原点（0，0），半径为1的圆在x轴及其上方的部分。

补充练习：可适当补充一些综合性练习

A组

1.求圆心在直线 上，且经过两点P（1，0），Q(-1，2)的圆的方程。

提示：圆心也在PQ的垂直平分线 上，联立 与 解出圆心，再求出半径。  答案：

2.方程 表示什么曲线？画出它的图形。

答案：圆 的上半部分。

B组

1.求圆心在直线2x-y-3=0上，且过点M(5，2)和N(3，-2)的圆的方程.

提示：圆心也在MN的垂直平分线 上，联立 与 解出圆心，再求出半径。  答案：

2.已知等腰三角形顶点为A（2，1），底边一个端点为B（1，-2）,求另一底边端点C的在什么曲线上？你能求出它的方程吗？

提示：点C到A的距离与点B到A的距离相等。   答案 ： 。

可根据学生程度选用.

(二).课堂观察

1.旧知识回顾提问,例题1,2解答思路、方法提问，评价学生知识基础以及新知识掌握状况；2.通过推到圆的标准方程和补充例题思路探究学生讨论和发言的观察评价探究表现，思维能力，合作意识。

 

 

教学设计案例

2．1．圆的标准方程

西安高新第一中学  梁杰

（一）教学前奏：

1.教学对象分析

圆是学生比较熟悉的曲线。在初中几何课中已经学习过圆的性质，这里只是用解析法研究它的方程与其他图形的位置关系及一些应用。对此，教师可在课堂上通过各种教学方法，帮助学生经历如下过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方一、2.教学内容分析

本节内容首先是回顾初中已有的圆的有关知识的基础上引入确定圆的条件，并提出问题：在平面直角坐标系中，怎样用坐标的方法刻画圆呢？过度到下一个问题：圆的标准方程的推导，这是本课时的核心内容，通过圆的定义，利用两点间距离公式推导出方程，需要让学生充分认识方程的形式特点和参数a、b、r的意义。最后通过例题让学生分析探究，学会求圆的标准方程的方法。另外应注意练习2中通过方程中数量关系的分析，明确形似圆的方程，但不表示圆的问题，体会数与形的密切联系。

以上的方法应尽可能在老师的启发引导下，由学生自己比较、归纳得到。

3．教学任务分析

（1）.知识和能力

①学会圆的标准方程的推导方法。

②掌握圆的标准方程及其求法。

(2).过程和方法

①通过电脑演示，引导学生探究、分析图形的几何特征，再用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，体现数形结合的数学思想。

②学生经历圆的标准方程的推导过程，逐步形成在坐标系下用坐标法解几何问题的能力，掌握自主学习的方法和形成合作学习的习惯。

③通过例题练习的思考验算，掌握求圆的方程的方法，提高知识的应用能力。

(3).情感态度和价值观：

①教学中运用观察、类比、联想、猜测、检验等合情推理方法，运算能力和逻辑推理能力以及思维品质得到有体验和提升。

②培养勇于探索、坚韧不拔的意志品质，通过圆的标准方程的学习感悟数学中的曲线美、方程美，激发创造美的意识。

（二）．教学过程

1.情境引入，提出问题：

在解析几何中，我们学习了直线，把它放在坐标系内可以求出它的方程，根据方程利用代数方法讨论直线的很多性质。圆是一种非常优美的平面图形，我们能不能求出它的方程呢？我们现在就研究这个问题。

2.探索研究，得出结论：

在初中几何课中已经学习过圆的知识，什么是圆？（提问学生）

确定圆的基本条件为圆心和半径，圆心—定位置，半径—定大小。

   提出问题：在平面直角坐标系中，怎样用坐标的方法刻画圆呢？

设圆的圆心坐标为C(a,b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0），设P (x,y)为这个圆上任意一点，那么点P、C与r有什么关系？能用坐标表示吗？,由两点间的距离公式让学生写出点P适合的条件     ①

化简可得：        ②

                                                                                                                                                                                                                                           

 

 

 

引导学生自己证明 为圆的方程，得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

学生思考：圆心在原点，半径为r的圆的方程:  .

3.知识应用，解题研究

例1．求以为 圆心,半径等于3的圆的方程.

提问学生，说出圆的方程。

教师评讲，以圆的标准方程为公式，找出圆心坐标和半径大小，代入公式，得出方程。

例2．已知两点M₁（4，9）和M₂（6，3），求以M₁M₂为直径的圆的方程。

   引导分析：从圆的标准方程   可知，要确定圆的标准方程，可用确定 三个参数。如何求出a，b，r.（学生自己运算解决）

    学生总结，已知圆的一条直径的两端点，如何求圆心和半径。

练习1 写出下列圆的方程

（1）       圆心在原点，半径为5．

（2）       经过点P(5，1)，圆心在点Ｃ(6，－2)。

（3）       以A(2，5)，B(０，－１)为直径的圆。

答案

（１） ;    (2) ;  (3) .

例3．已知直角三角形ABC的斜边AB的端点A的坐标（－2，1），B的坐标为(4，3)，直角顶点C的在什么曲线上？你能求出它的方程吗？

师生共同分析: 让学生思考：直角顶点C所在的曲线是什么图形？联系圆的性质，是以AB为直径的圆，学生自行求出方程。

练习2

1.求圆心在直线 上，且经过两点P（1，0），Q(-1，2)的圆的方程。

提示：圆心也在PQ的垂直平分线 上，联立 与 解出圆心，再求出半径。  答案：

2.方程 表示什么曲线？画出它的图形。

答案：圆 的上半部分。

总结归纳：根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.

4.思考与探究：

下列方程分别表示什么图形

（1） ；     （2） ；     （3） 。

答案：（1）点O（0，0）

     （2）圆心为（1，-2），半径为 的圆；

     （3）圆 的在 轴及其上方的部分。

第2题学生思考、讨论回答，分析坐标 的范围，体会方程与曲线的关系。实现利用数量关系研究几何图形的过程。

5.课堂小结：

1、  圆的标准方程。

2、  根据已知条件求圆的标准方程的方法。

3、  由圆的标准方程研究圆的几何特征。

6.作业：

课本 习题2.2第1、2题

补充习题

1.求圆心在直线2x-y-3=0上，且过点M(5，2)和N(3，-2)的圆的方程.

提示：圆心也在MN的垂直平分线 上，联立 与 解出圆心，再求出半径。  答案：

2.已知等腰三角形顶点为A（2，1），底边一个端点为B（1，-2）,求另一底边端点C的在什么曲线上？你能求出它的方程吗？

提示：点C到A的距离与点B到A的距离相等。   答案 ：

7.教学反思：本课时教学流程中，以直线类比提出问题自然流畅，也预示了圆的研究方法与直线相似；问题探究过程中以寻求圆上任一点P的坐标（x, y）的关系为出发点，实现了几何条件坐标化，推导出了圆的标准方程；例题练习有效地使知识和方法得到了实践、形成和落实，通过练习、讨论、提问等方式的观察性评价和检测性评价。

教学方式上由已有知识引出、推导新知识，符合学生的认知规律；问题探究和例题思路分析的教学设计体现了自主学习，合作学习、探究性学习的教学理念，对发展学生的思维，提高能力起到了一定的作用。

但在教学过程中，学生活动的全面性不够；由于缺少曲线与方程的理论和轨迹思想，知识的完备性和深度不足；容量偏大，需合理安排时间。