高新一中教师 杨天旭

【教学目标】

知识与技能，过程与方法，情感、态度、价值观：

学生经历学习，能体会出换底公式是一种运算手段，它能很好地解决对数的运算，而且是客观现实的需要；通过学习，能体会出换底公式的推导的整个思维过程，以及这种推导的基本思想（即转化的思想）；会运用换底公式计算一些简单的对数值，化简一些简单的对数式，并从中归纳出一些有用的结论；能从对数换底公式得出的整个过程中体会出归纳事物规律的一些特征，从指数与对数的相互转化中感悟出转化思想的重要性，从把不同底数的对数转化为同一底数的对数的过程中体会出事物的辩证统一性，以明白化归思想是数学解题中的重要思想方法；从解应用题中体会出数学就在我们身边，数学有很强的实用性，以增加学生对数学的兴趣；要让学生感受到本节课学有所获，激发学生用积极的态度来学习数学。

【教材分析】

本节的主要内容就是对数换底公式。它是对数运算性质的延续，同时又具有自身的独特性。它既是对前面对数运算的巩固，又是对指数与对数相互转化的再理解，还将对后面知识的学习有直接影响。值得一提的是它的产生来源于客观现实，因计算而产生了换底公式。本节内容的思想性主要体现在“转化”上，有指数与对数的转化，还有不同底的对数向同底的对数转化。

由于对数换底公式较为抽象，让学生很难一下接受，故应采用从特殊到一般的教学方式，引导学生逐步认识它。正是由于它的抽象性，所以从实际问题中引出比较好。

【重点难点】

（1）重点：换底公式得出的过程。

重点的突破：从实际出发，以加深学生的印象；从实例中提出问题，通过对一个个问题的解决，体会出对数换底的意义和方法，从中发现规律，这样就比较容易上升到一般规律，换底公式的得出就不困难了。

（2）难点：推导换底公式过程中的“指、对转化”意识和对指数幂的换底想法。

难点的解决：引导学生先把对数中的底数转移？这便做到了换底的基本要求。进而提醒学生回忆学过的知识中有哪些可以帮我们来实现转移？原来可以把对数的底数转化为指数幂的底数；也可以利用两边取对数的方法来实现。这样一来，难点就好解决了。

【课时建议】

由于只有一个重点内容，建议用一个课时。

【学情分析及学法指导】

（1）如果学生前面的基础较好，可采用教师点拨，学生讨论和自行解决问题为主的学习方法。其间教师要把屋一个度，必要的讲解和叙述要有，主线和重点要突出，思维过程不仅要体现，还要提炼归纳，目标要明确。建议学生采用归纳、总结的学习线路，要求学生注意思维过程。

    （2）如果学生前面的基础不太好，或思维能力相对较弱，建议教师采用多引导、多讲的办法，学生只需作适当的交流和讨论即可，学生的学习方法因教师课堂教授的情况来定。

【教学建议】

1．问题提出：

从实际出发，提出与本课有密切关联的问题。问题的提出要在很大程度上承担导出主题的任务。由于是数学公式的推导，其思维性较强，所以问题的逻辑性要强，让学生尝试推理的东西要多一些。

2．实例分析：

这里的实例引入要快，重点不在实例的内容上，而在实例的意义上，所以建议从某个实例中抽出你认为对本课有用的局部就可以了。

在换底公式的应用中，实例要举得恰当，既要有较好的实际意义，更要体现出对数计算的特点。建议举一个增长问题的例子。

3．阅读理解：

建议从以下几个方面注重学生的阅读理解：

（1）指数与对数关系的理解，即对数就是指数；

（2）运用计算器求对数的理解，即计算器只能求底数为10（或e）的对数；

（3）两边取对数的理解，即从指数函数的单调性上去理解；

（4）指数换底的理解，即把 换成以a为底的指数幂，可以运用公式 来实现。

【教学过程】

换底公式

（一）教学内容：

    1.前言：

    我们先来看一个实际问题。

2．问题提出与问题解决：

我国现有人口约13亿，如果往后人口年平均增长率为1%，预计经过多少年我国人口将达到18亿？

在教师的指导下，师生共同解答：

解：设经过x年后我国人口达到18亿，则

18 =

整理得  。

教师提问：我们如何来求x ？

学生分组讨论，思考求x的思路，并拿出解决问题的方案。

问题的解决：

学生可能提出的方案：

（1）用尝试的办法去试x的可能取值；

（2）把指数转化为对数，用求对数的办法；

（3）用“两边取对数”的方法。

教师评价：第一条思路可以，但在尝试的时候范围过大，可能需要很久才能得到你要的x值，不宜使用。第二条思路较好，可以继续。第三条思路也可以，可以继续。

如果是第二条思路，教师继续设问。

师问：可否先把指数幂 的底数1.01转换成以10为底数的指数幂，然后再把指数转化为对数？

生问：为什么要这样？

师答：如若这样，x就可以表成以10为底的对数，就可以用计算器求得x值，以解决实际问题。

（可能学生已经找到了计算的办法，若如此，让学生演示出来；如果没有，教师启发、引导，把问题解决）

师问：如何实施呢？

由学生讨论并尝试解决。

估计：学生独自解决有困难。

问题解决：

由  得 ，根据指数运算即得  。

把指数转化为对数，可得 ，所以 ，用计算器可得  = 32.70。即x = 32.70。

答：预计经过33年我国人口将达到18亿。

 

即  ，

分析：由解决的过程可以看出，有些环节学生是很难独自度过的，如怎么想到把 中的指数幂变成以10为底的指数幂，这对学生的思维要求是很高的。这就要求教师给予学生多引导、启发，帮助学生渡过难关。

如果是第三条思路，即学生用“两边取对数”的方法来做，教师应该鼓励学生继续做下去。如：

对等式 的两边取以10位底数的对数，可得

      

运用对数运算可得 ，从而得到 ，再用科学计算器就能得到x的取值，即x = 32.70。以下同上。

这样做完后，似乎有一个问题，即没有把学生引到求 上，似乎起不到引出换底公式的作用。

其实，教师可以继续设一问：如果我们把 化成对数，即x = ，那么，我们能得出什么结论呢？

答：        。

继续问：这个结论有什么意义呢？（让学生回答）

答：这个结论除了能帮助我们解决今天这个实际问题，还可以在对数运算中起到非常大的作用。今天，我们就来学习这个结论，并把这个结论称为对数换底公式。（教师板书课题）

教师：上面问题的解决，关键是把对数的底数换成了我们需要的底数。那么，对数的底数可以换成任何你想要的且符合条件的底数吗？

3．换底公式的推导：

继续提问：

你能把 变换成以a 为底的对数吗？

学生将会很自然的推出结论：

教师紧跟提问：这个式子的成立有条件吗？

学生回答： 。（学生在回答中可以相互补充）

教师：这就是我们今天要学习的对数换底公式。请同学们默记一分钟。

4．换底公式的应用训练举例：

例1计算：

（1）       （2）

第一例教师解答，第二例学生练习。

解（1）分析：观察式子特征发现对数的底数和真数都是3的整数次幂，可否把对数的底数换成3为底的对数呢？解答如下：

=  = 。

注：在运用换底公式时，不一定总换成10为底的对数，这里可灵活处理，结合题目的情况来定。

解（2）……（学生完成，师生评价）

例2．我国现有人口13亿，如果往后人口年平均增长率为0.1%，预计经过多少年我国人口将达到18亿？

略解：设经过x年后我国人口达到18亿，则

18 = 。

可得 ，用科学计算器可得x = 325. 585。

答：预计经过326年我国人口将达到18亿。

教师评价：通过我们的计算可以知道，只要我们国家的人口年平均增长率控制在0.1%以内，那么要经过326年我国人口才可能突破18亿。计划生育是我国的一项国策，如果我们以科学的数据为依据，指导性地去抓这件事，一定会有伟大的胜利。通过这个问题的解决，我们也深深感觉到数学的重大意义，为此，我们应该满腔热情地去学习科学文化知识，将来为祖国做出更大的贡献。

5．小结：

本节课主要学习了对数的换底公式，同学们既要知道学习它的意义，还要学会使用它。在推导换底公式的过程中，出现了“指、对转化”的思想方法，要注意掌握，还有指数幂的换底方法，要多体会。换底公式主要应用在对数式的化简求值、运算公式的推导和实际问题中的对数计算等三个方面，应用时要有目的性，如换以什么为底的对数为好等。

6．作业布置：

（1）课本中87页的练习第4题；

（2）课本中88页的习题（A组）。

 

（二）教学流程：

（三）教学反思：

对于课本中的“两边取对数”方法，我认真反思了很久，有些个人的感受。课本这样做的理由是此前课本中有这样的说法：“对任何正数N，log _a N是存在的，并且由于指数函数是单调函数，所以log _a N也是唯一的。”这就保证了“对两个相等的正数，两边取相同底数的对数后仍相等”是站得住脚的，也就保证了“两边取对数”的方法是有据可依的。

个人认为，课本这样做也是合理的。但这种做法不太适宜学生的接受，因为它的思维跨度较大，多数学生不宜想到这样做的理由，所以效果不一定会好。如果能过渡一下就好了。我想改变一下做法，让它仍然能够解决问题，同时学生也容易接受。大家知道，在“指、对互化”中，指数幂的底数就是对数的底数，所以我们可以把对数转化为指数，而后对指数幂进行换底，再把指数幂换回到对数，就达到了目的。这样做，也可以引出指数幂的换底公式，为学生的思考与拓展作了铺垫。

再者，课本的引入较为简单，突然出现一个对数让学生去计算，没有来龙，也不好确定去脉。个人在同行们的建议下，把引入变成了一个实际问题，从实际问题中提出关于一个对数的计算，从而引出问题，导入主题。当然，还有很多不成熟的地方，有待同行批评指正。

课后反思：

上课后，出乎我的意料，学生在最困难的“换底”处理上，还是首先想到的“两边取对数”的思想方法。看来，教材编排是有科学根据的，对“两边取对数”的思想方法实现作铺垫是很有必要的。

其实，关于变换指数幂的底数，教材在此之前也有铺垫，学生已经学过了公式 。但从学生的实际出发，学生更愿意接受“两边取对数”的方法。